Déterminant

Définition

Avec deux ou trois vecteurs

Déterminant de deux vecteurs $\vec{u}\binom{a_1}{b_1}$ et $\vec{v}\binom{a_2}{b_2}$ : $${{\operatorname{Det}(\vec{u},\vec{v})}}={{\begin{vmatrix}a_1&a_2\\ b_1&b_2\end{vmatrix} }}={{a_1b_2-a_2b_1}}$$

Dans le plan, le déterminant est égal au produit vectoriel : $${{\operatorname{Det}(\vec u,\vec v)}}={{\vec u\land\vec v}}$$

(Plan, Produit vectoriel)

Produit mixte
[déterminant]
$\vec u$, $\vec v$, $\vec w$ sont coplanaires si et seulement si $\operatorname{det}(\vec u,\vec v,\vec w)=0$

(Vecteurs coplanaires)

n vecteurs

Définition :
Soit $X=\begin{pmatrix} x_{11}&\ldots&x_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ x_{n1}&\ldots&x_{nn}\end{pmatrix}$
Alors $${{\operatorname{det}(X)}}:={{\sum_{\sigma\in\mathfrak S_n}\varepsilon(\sigma)x_{\sigma(1)1}\cdots x_{\sigma(n)n} }}$$

(Matrice carrée, Signature d’une permutation)

Déterminant selon une base

Propriétés du déterminant

Interprétation géométrique en deux dimensions

L'aire d'un parallélogramme de côtés $\vec u$ et $\vec v$ est égale au déterminant $\operatorname{Det}(\vec{u},\vec{v})$

Intérêt

Le déterminant d'une matrice est nul s'il existe une relation linéaire entre les lignes de cette matrice

(Matrice)

Permutation de vecteurs

$\operatorname{det}$ change de signe après une permutation de deux vecteurs : $${{\operatorname{det}\begin{pmatrix}a_1&b_1\\ a_2&b_2\end{pmatrix} }}={{-\operatorname{det}\begin{pmatrix}b_1&a_1\\ b_2&a_2\end{pmatrix} }}$$

$${{\operatorname{det}(\lambda\vec u,\vec v)}}={{\lambda\operatorname{det}(\vec u,\vec v)}}$$

$${{\operatorname{det}(\vec u_1,\vec u_2,\vec v)}}={{\operatorname{det}(\vec u_1,\vec v)+\operatorname{det}(\vec u_2,\vec v)}}$$
$\implies$ $\operatorname{det}$ est linéaire

Changement de base

Le déterminant ne change pas lors d'un changement de base

(Changement de base)

Formules utiles

Règle de Cramer - Méthode de Cramer
Produit mixte

Développement par colonne / par ligne

Développement par colonne / par ligne :
Soit $A$ une matrice de format $n\times n$
Pour $i,j\in\{1,\ldots,n\}$, on considère $M_{ij}$ la matrice de taille $(n-1)\times(n-1)$ obtenue à partir de $A$ en supprimant la $i$ième ligne et la $j$ième colonne
En réitérant le procédé, on a : $$\begin{align}{{\operatorname{det}(A)}}={{\sum^n_{k=1}(-1)^{k+j}a_{kj}\operatorname{det}(M_{kj})}}\\ {{\operatorname{det}(A)}}={{\sum^n_{k=1}(-1)^{i+k}a_{ik}\operatorname{det}(M_{ik})}}\end{align}$$

Produit de matrices

Soit $A$ et $B$ deux matrices de format $n\times n$
Alors $$\operatorname{Det}(AB)={{\operatorname{Det}(A)\cdot\operatorname{Det}(B)=\operatorname{Det}(BA)}}$$

(Matrice carrée, Produit matriciel)

Matrice inverse

Si la matrice $A$ est inversible, alors $${{\operatorname{Det}(A^{-1})}}={{\frac1{\operatorname{Det}(A)} }}$$

(Matrice inversible - Inversion de matrice, Matrice inverse)

Matrice opposée

Si $M$ est une matrice de dimension $n\in{\Bbb N}^*$, alors $${{\operatorname{det}(-M)}}={{(-1)^n\operatorname{det}(M)}}$$

Avec deux vecteurs identiques

$$\operatorname{det}(\vec u,\vec u,\vec v)={{0}}$$ (car deux vecteurs sont toujours coplanaires)

(Vecteurs coplanaires)

Dans un plan

$${{M\in\mathcal P(A,\vec u,\vec v)}}\iff{{\operatorname{det}(\overrightarrow{AM},\vec u,\vec v)=0}}$$

(Plan)

Matrice identité

$$\operatorname{Det}(\operatorname{Id})={{1}}$$

(Application identité)

Matrice transposée

$$\operatorname{det} (^\text tA)={{\operatorname{det}(A)}}$$

Matrice triangulaire

(Matrice transposée)

Si $A$ est une matrice triangulaire, alors $${{\operatorname{Det} A}}={{a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} }}$$

(Matrice triangulaire)

Matrice triangulaire par blocs

Si $A$ est une matrice triangulaire par bloc, alors $${{\operatorname{Det}(A)}}={{\operatorname{Det}(A_{11})\cdot\operatorname{Det}(A_{22})\cdots\operatorname{Det}(A_{nn})}}$$

(Matrice triangulaire)

Exemples

Consigne: Calculer le déterminant de $$A=\begin{pmatrix}1&4&2\\ 2&7&2\\ 3&1&3\end{pmatrix}$$

Pivot de Gauss sur les colonnes du déterminant pour avoir des $0$
$$\begin{align}&=\operatorname{det}\begin{pmatrix}-11&4&2\\ -19&7&2\\ 0&1&3\end{pmatrix}&(C_1\to C_1-3C_2)\\ &=\operatorname{det}\begin{pmatrix}-11&4&-10\\ -19&7&-19\\ 0&1&0\end{pmatrix}&(C_3\to C_3-3C_2)\end{align}$$
(faire directement $C_3\to C_3-C_1$ aurait fonctionné aussi)

Développement par ligne avec la troisième colonne
$$\operatorname{det} A=0\operatorname{det}\begin{pmatrix}4&-10\\ 7&-19\end{pmatrix}-1\operatorname{det}\begin{pmatrix}-11&-10\\ -19&-19\end{pmatrix}+0\operatorname{det}\begin{pmatrix}-11&4\\ -19&7\end{pmatrix}$$

Calculer directement les déterminants de format $2\times2$

$$\begin{align}&=-((-11)\times(-19)-(-10)\times(-19))\\ &=-19\end{align}$$

(Méthode du pivot de Gauss)

Exercices

Consigne: Calculer le déterminant $$M_n(a_1,\ldots,a_n)=\begin{vmatrix} a_1&a_2&a_3&\ldots&a_n\\ a_2&a_2&a_3&\ldots&a_n\\ a_3&a_3&a_3&\ldots&a_n\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_n&a_n&a_n&\ldots&a_n\end{vmatrix}$$

On simplifie les colonnes entre elles : $$\begin{align}\begin{vmatrix} a_1&a_2&a_3&\ldots&a_n\\ a_2&a_2&a_3&\ldots&a_n\\ a_3&a_3&a_3&\ldots&a_n\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_n&a_n&a_n&\ldots&a_n\end{vmatrix}&=\begin{vmatrix} a_1-a_2&a_2&a_3&\ldots&a_n\\ 0&a_2&a_3&\ldots&a_n\\ 0&a_3&a_3&\ldots&a_n\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&a_n&a_n&\ldots&a_n\end{vmatrix}&c_1\gets c_1-c_2\end{align}$$

En faisant un développement par ligne sur la première ligne, on retombe sur une matrice similaire : $$=(a_1-a_2)\begin{vmatrix}a_2&a_3&\ldots&a_n\\ a_3&a_3&\ldots&a_n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_n&a_n&\ldots&a_n\end{vmatrix}=(a_1-a_2)M_{n-1}(a_2,\ldots,a_n)\tag1$$

Montrons par récurrence que : $$M_n(a_1,\ldots,a_n)=(a_1-a_2)\cdots(a_{n-1}-a_n)a_n$$
Initialisation : $$M_2(a_{n-1},a_n)=\begin{vmatrix}a_{n-1}&a_1\\ a_n&a_n\end{vmatrix}=(a_{n-1}-a_n)a_n$$
L'hérédité est dans le calcul précédent $(1)$
On a donc bien $$M_n(a_1,\dots,a_n)=a_n\prod^{n-1}_{i=1}(a_i-a_{i+1})$$

Consigne: Soit $(a,b)\in{\Bbb R}^2$ avec $a\neq b$
Pour $n\in{\Bbb N},n\geqslant2$, on note $B_n$ le déterminant suivant : $$B_n=\begin{vmatrix}a+b&a&&0\\ b&\ddots&\ddots\\ &\ddots&\ddots&a\\ 0&&b&a+b\end{vmatrix}$$
De plus, on a : $\forall n\in{\Bbb N},n\geqslant4$, $B_n=(a+b)B_{n-1}-abB_{n-2}$
Montrer que $$\forall n\geqslant{\Bbb N},n\geqslant2,\quad B_n=\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}\tag1$$

Initialisation de la récurrence
Montrons par récurrence que $B_n=\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}$ :
Initialisation : calculons $B_2$ et $B_3$
$$\begin{align} B_2&=\begin{vmatrix} a+b&a \\ b&a+b\end{vmatrix}&B_3&=\begin{vmatrix} a+b&a&0\\ b&a+b&a\\ 0&b&a+b\end{vmatrix}\\ &=\frac{a^3-b^3}{a-b}\quad\checkmark&&=(a+b)\begin{vmatrix} a+b&a\\ b&a+b\end{vmatrix}-b\begin{vmatrix} a&0\\ b&a+b\end{vmatrix}\\ &&&=\frac{a^4-b^4}{a-b}\quad\checkmark\end{align}$$

Hérédité : on considère $(1)$ vraie pour $2,\ldots,n-2$
Alors $$\begin{align} B_n&=(a+b)\frac{a^n-b^n}{a-b}-ab\frac{a^{n-1}-b^{n-1}}{a-b}\\ &=\frac{(a^{n+1}+ba^n-ab^n-b^{n+1})-ba^n+ab^n}{a-b}\\ &=\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}\quad\checkmark\end{align}$$
$(1)$ est donc vérifiée par principe de récurrence

(Raisonnement par récurrence)

Math'φsics

Formulaire de report